Unity Shader数学基础
本篇介绍的是坐标系及不同坐标系间通过矩阵进行转换
坐标系和旋转正向
左手坐标系和右手坐标系
Unity使用左手系，但是对于观察空间来说，Unity使用的是右手坐标系，摄像机的前向是z轴的负方向
矩阵
转置矩阵性质：
转置矩阵的转置等于原矩阵
矩阵串接的转置等于反向串接各个矩阵的转置
逆矩阵性质：
原矩阵乘转置矩阵为单位矩阵
逆矩阵的逆矩阵是原矩阵
单位矩阵的逆矩阵是本身
转置矩阵的逆矩阵是逆矩阵的转置
判断可逆：矩阵的行列式不为0
正交矩阵性质：
矩阵的每一行都是单位矢量
矩阵的每一行相互垂直
对列一样适用
正交：矩阵乘转置矩阵是单位矩阵 也就是转置矩阵等于逆矩阵
一个正交矩阵的行和列之间分别构成了一组标准正交基，但如果使用一组正交基来构建一个矩阵的话，这个矩阵就不一定是正交矩阵
矩阵变换
包括平移，缩放，旋转等基础变换
复合变换，约定变换顺序：先缩放，再旋转，后平移
坐标系变换
假设两个坐标空间A，B
从A空间变换到B空间的矩阵：就是A空间的X，Y，Z轴在父空间下的矢量表示 按列
B空间到A空间 就是按行
顶点的坐标空间变换过程
模型空间
每个物体自身的局部空间，Unity在模型空间是左手系，模型的顶点都是相对于模型空间的原点定义的
世界空间
观察空间
摄像机的本地空间，遵循右手系，符号OpenGL传统，摄像机的正前方指向的是-z轴方向。
观察空间是三维空间，屏幕空间是二维空间，通过投影变换进行转换
为了得到顶点在观察空间的位置，两种方法：
计算观察空间3个坐标轴在世界空间下的表示，然后构建从观察空间变换到世界空间的变换矩阵，再对该矩阵进行求逆。
想象摄像机是从世界原点经过怎样的变换变换到现在的位置，然后用逆变换变换回去。
裁剪空间
顶点接下来要从观察空间变换到裁剪空间，用于变换的矩阵为裁剪矩阵，也叫做投影矩阵
裁剪空间的目标是能够方便地对渲染图元进行裁剪，根据视锥体（view frustum）来决定裁剪范围。
视锥体由六个平面包围而成，是空间中的一块区域，决定了摄像机可以看到的空间。
其中有两种特殊的裁剪平面：近裁剪平面（near clip plane）和远裁剪平面（far clip plane）。
它们决定了摄像机可以看到的深度范围。
投影矩阵有两个目的：
为投影做准备：真正的投影发生在后面的齐次除法中。经过投影变换后，顶点的w分量具有特殊的意义
对x，y，z分量进行缩放。经过投影矩阵的缩放后，可以直接使用w分量作为一个范围值，如果x，y，z分类都位于这个范围内，就说明顶点位于裁剪空间内。
unity（shader入门精要）投影变换原理推导（保姆级）
透视投影
通过Camera的Field of View（FOV）和Near，Far，Aspect（射线机的纵横比）决定
得到的投影矩阵如下：
这里的投影矩阵针对的是观察空间为右手坐标系，使用列矩阵在矩阵右侧相乘，且变换后z分量的范围在【-w，w】之间的情况。
本质上就是对x，y，z分量进行了不同程度的缩放，z分量进行了一个平移
正交投影
使用正交投影的投影矩阵对顶点进行变换后，w分量仍然为1。
本质是因为投影矩阵最后一行的不同，透视投影的投影矩阵的最后一行是 【0 0 -1 0】，正交投影的投影矩阵的最后一行是【0 0 0 1】
屏幕空间
经过投影矩阵变换后可以进行裁剪操作，裁剪后，需要进行真正的投影——把视锥体投影到屏幕空间=>得到真正的像素位置
齐次除法（透视除法）
x，y，z都除w=>归一化的设备坐标NDC
齐次除法后的立方体的x，y，z分量的范围都是【-1，1】
DirectX中是【0，1】
坐标映射
根据变换后的x，y坐标来映射窗口的像素坐标。
整体就是把【-1，-1】【0，0】分别映射到【0，0】【SCREENWIDTH，SCREENHEIGHT】
z（clipz/clipw）分量通常会被用于深度缓冲。
clipw作用：
齐次除法的分母
透视校正插值
视口空间
将【-1，1】的NDC映射到【0，1】的视口空间下
总结
法线变换
使用顶点变换矩阵变换法线带来的问题：
Unity Shader内置变量
内置的用于空间变换和摄像机以及屏幕参数的内置变量。可以在UnityShaderVariable.cginc文件中找到定义和说明。
Unity内置的变换矩阵
Unity_MATRIX_T_MV：如果MV是正交矩阵=>逆矩阵=转置矩阵=>MV矩阵的逆矩阵，将顶点和方向矢量从观察空间转换到模型空间
什么时候正交？
只包含旋转
只包含旋转和缩放 缩放系数为k，则对应逆矩阵要乘以1/k
只对方向矢量进行变换，忽略平移影响，只使用前三行和前3列来变换
摄像机和屏幕参数
Unity提供的访问当前正在渲染的摄像机的参数信息的内置变量：
CG语言中变量的一些注意点
通常右乘向量按照列矩阵进行乘法，Unity内置矩阵也都是按列存储的
CG矩阵初始化是按照行优先的顺序填充的，访问时也是按行索引
CG数据类型：向量float3、float4 矩阵类型：float3x3、float4x4等关键词进行声明和定义